三元均值不等式的成立條件：均值不等式，又名 平均值不等式、 平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式：公式內(nèi)容為H n≤G n≤A n≤Q n，即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。

函數(shù) y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

值域 (0 , +∞) f(x) ＞ 0

一階導(dǎo)數(shù) (q/p)*x^( (q-p)/p )

二階導(dǎo)數(shù) ( (q2 - pq)/p2 )*x^( (q - 2p)/p )

p＞q＞0 圖像性質(zhì) 凸函數(shù)

0＞p＞q 圖像性質(zhì) 凹函數(shù)

p＞0 , q＜0 圖像性質(zhì) 凹函數(shù)

利用函數(shù) y = f(x) = x^(q/p) (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性質(zhì)結(jié)合Jensen不等式來證明冪平均不等式。

回顧Jensen不等式：

Ai ≥ 0時(shí) 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)則有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)則有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn) n≥1

等號(hào)成立條件 X1 = X2 = ...... = Xn

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式

均值不等式的公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn。

基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。其表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。基本不等式的四種形式：

1、a2+b2≧2ab(a，b∈R)

2、ab≦(a2+b2)/2(a，b∈R)

3、a+b≧2√ab(a，b∈R﹢)

4、ab≦[(a+b)/2]2(a，b∈R﹢)

a^2+b^2≥2ab

√(ab)≤(a+b)/2≤（a^2+b^2）/2

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根號(hào)abc

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。

擴(kuò)展資料：

特例

⑴對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有?

?（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)），?

?（當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時(shí)取“=”號(hào)）

⑵對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有?

?，即?

⑶對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有?

⑷對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，a≥b,有?

⑸對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有?

⑹對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有?

⑺對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有?

⑻對(duì)非負(fù)數(shù)a,b，有?

⑼對(duì)非負(fù)數(shù)a,b,c，有?

；在幾個(gè)特例中，最著名的當(dāng)屬算術(shù)—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：

當(dāng)n=2時(shí)，上式即：

；當(dāng)且僅當(dāng)?

?時(shí)，等號(hào)成立。

根據(jù)均值不等式的簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，即?

?。