近年來，人們發(fā)現(xiàn)了越來越多的基礎(chǔ)物理學(xué)與人工智能之間的聯(lián)系。首先，深度學(xué)習(xí)與物理系統(tǒng)存在著本質(zhì)上的對應(yīng)關(guān)系，例如受限玻爾茲曼機(jī)與自旋系統(tǒng)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與重整化群；其次，機(jī)器學(xué)習(xí)是一種比傳統(tǒng)的數(shù)值模擬、蒙特卡洛模擬更有效的對復(fù)雜問題近似求解的

近年來，人們發(fā)現(xiàn)了越來越多的基礎(chǔ)物理學(xué)與人工智能之間的聯(lián)系。首先，深度學(xué)習(xí)與物理系統(tǒng)存在著本質(zhì)上的對應(yīng)關(guān)系，例如受限玻爾茲曼機(jī)與自旋系統(tǒng)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與重整化群；其次，機(jī)器學(xué)習(xí)是一種比傳統(tǒng)的數(shù)值模擬、蒙特卡洛模擬更有效的對復(fù)雜問題近似求解的方法。這種有效性讓人們開始思考物理與機(jī)器學(xué)習(xí)更深層次的聯(lián)系，也許它能幫我們獲得對智能以及宇宙本質(zhì)的真知灼見。

本文是于2017年2月發(fā)表在科學(xué)上的重磅文章，由集智俱樂部翻譯團(tuán)隊翻譯完成。作者提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子態(tài)表示方案，并展示了它在多個經(jīng)典量子多體問題上的高精度和表達(dá)能力。這篇文章甚至引發(fā)了我們對量子系統(tǒng)更本質(zhì)的思考：是否那些讓我們困惑的反直覺的量子特性，特別是哥本哈根解釋壓根兒就不存在，而只不過是更復(fù)雜的經(jīng)典系統(tǒng)的某種表象呢？而這種表象卻恰恰能被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很好地表達(dá)出來。換個角度思考，一個經(jīng)典的復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有可能展現(xiàn)出那些匪夷所思的量子系統(tǒng)特征，如量子遂穿、不確定性原理等等。

用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決量子多體問題

Giuseppe Carleo1* and Matthias Troyer1,2

摘要

量子物理中的量子多體問題給我們帶來的很多挑戰(zhàn)都起源于對編碼在多體波函數(shù)中指數(shù)級復(fù)雜性中的非平凡關(guān)聯(lián)特性如何描述。在本文中，我們對于幾個物理學(xué)感興趣的問題，展示了如何通過機(jī)器學(xué)習(xí)的方式來學(xué)習(xí)波函數(shù)，從而可以將量子多體問題的復(fù)雜性簡化為可計算的程度。我們引入了一種量子狀態(tài)的變分表示方法，該方法基于隱層神經(jīng)元數(shù)量可變的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來完成。我們將說明強(qiáng)化學(xué)習(xí)方案既能找到基態(tài)，又能描述復(fù)雜相互作用的量子系統(tǒng)的幺正時間演化。我們的方法在描述一維和二維的交互自旋模型這樣的簡單系統(tǒng)時，達(dá)到了很高的精度。

波函數(shù)Ψ是量子物理學(xué)中最基本的對象，也是從古典物理框架下最難被理解的東西了。Ψ是一個龐大的數(shù)學(xué)量，因為它包含了一個量子態(tài)的所有信息，無論是單個粒子還是一個復(fù)雜的分子。原則上，對通用的多體量子態(tài)進(jìn)行充分編碼需要指數(shù)級數(shù)量的信息；然而，真實的情況是描述許多物理多體系統(tǒng)的波函數(shù)卻只需要有限的信息就夠了，其容量遠(yuǎn)比相應(yīng)的Hilbert空間所能容納的最大容量要小得多。在這樣的系統(tǒng)中，我們用現(xiàn)代的方法可以根據(jù)有限數(shù)量的量子糾纏和少量的物理狀態(tài)就能用有限的經(jīng)典資源解出多體的薛定諤方程。

人們通常會使用直接依賴于波函數(shù)的數(shù)值近似方法，來對物理相關(guān)構(gòu)型進(jìn)行有限采樣，也可以對量子態(tài)進(jìn)行有效的壓縮。例如人們常用的量子蒙特卡羅(Quantum Monte Carlo，QMC)方法（即統(tǒng)計模擬方法）等隨機(jī)方法就屬于第一類，它們都依賴于概率框架，并通常要求一個半正定的波函數(shù)(1-3)。而另一種壓縮的方法依賴于波函數(shù)的有效表征，例如矩陣乘積態(tài)(Matrix Product Space, MPS)(4-6)或更常見的張量網(wǎng)絡(luò)(Tensor Network，7-9)。然而，采用現(xiàn)有方法也有很多失敗的例子，這主要是由于QMC(10)（量子蒙特卡羅方法）本身的問題，以及當(dāng)前的壓縮方法在高維度系統(tǒng)中表現(xiàn)低效的問題。因此，盡管這些方法取得了顯著的成功，但仍有大量未經(jīng)探索的物理條件存在，其中也包括許多未解決的問題，從高維度系統(tǒng)的動力學(xué)特性(11、12)到強(qiáng)相互作用的費(fèi)米子(13、14)的精確基態(tài)屬性這樣的基礎(chǔ)問題。這種問題的核心就在于找到一種普遍的策略，以減少龐大的多體波函數(shù)的指數(shù)級復(fù)雜性，從而降低其最基本的特征維度(15)。

廣義地看，實際上這些問題的本質(zhì)就是對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維和特征提取。而這恰恰就是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最擅長的事情(16)。它們已經(jīng)在各種各樣的問題和環(huán)境，包括圖像和語音識別(17)再到博弈(18)中表現(xiàn)突出。最近，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被引入到了物理學(xué)研究中(19-23)，但這些研究都集中在對物相的分類上，前提條件是從這些物相的狀態(tài)中進(jìn)行精確采樣是可能的。而在沒有精確樣本的先驗知識的情況下，解決多體問題的挑戰(zhàn)性目標(biāo)仍然未被探索，而這恰恰是人工智能有可能發(fā)揮作用的領(lǐng)域。因此，認(rèn)識人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是否能夠修改和調(diào)整自己以適應(yīng)分析和描述這樣的量子多體系統(tǒng)是一個非常基本，也是具有實際意義的問題。這種能力可以被用來解決在某種物理條件下，那些用現(xiàn)有的精確數(shù)值方法難以解決的量子多體問題。

這里我們介紹一種用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來表達(dá)波函數(shù)的方法，它由一組內(nèi)部參數(shù)W指定。我們給出了一個隨機(jī)框架，用于加強(qiáng)對參數(shù)W的強(qiáng)化學(xué)習(xí)，使給定量子哈密頓量H的基態(tài)和時間依賴的物理狀態(tài)能得到最好的表示，然后對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練。或者當(dāng)我們對動態(tài)屬性感興趣時，我們還可以通過靜態(tài)變分蒙特卡羅(Varational Monte Carlo，VMC)采樣(24)或時間依賴的VMC(25，26)方法來求解。接下來，我們就通過對一維和二維Ising(伊辛)模型和海森堡(Heisenberg)模型來驗證這種方法的正確性。我們證明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)(Neural network Quantum State，NQS)的強(qiáng)大能力，并在基態(tài)和非平衡動力學(xué)等問題中獲得了目前所能達(dá)到的最好的精度。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)

考慮一個量子系統(tǒng), 這個系統(tǒng)有N個離散取值的自由度S=(S1,S2,...,SN), 這些自由度有可能是自旋, 玻色子占據(jù)數(shù), 或者其他類似的值. 該系統(tǒng)的多體波函數(shù)是一個從N維的集合S(數(shù)量呈指數(shù)增長的)到復(fù)數(shù)之間的映射, 這些復(fù)數(shù)能夠完全表征量子態(tài)的振幅和相位。我們看待這個問題的視角是, 將波函數(shù)理解成一個可計算的黑匣子, 這個黑匣子能夠?qū)o定的多體系統(tǒng)的構(gòu)型S, 依據(jù)Ψ(S)返回一組相位和振幅. 我們的目標(biāo)是用一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似這個能進(jìn)行計算的黑匣子, 使得它經(jīng)過訓(xùn)練后可以極好地表征我們關(guān)心的系統(tǒng)。針對特定的任務(wù), 人們已經(jīng)提出了不同的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為備選方法.。同理, 用來描述一個多體系統(tǒng)所需要的最好的(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))結(jié)構(gòu)也因問題而異。更具體地說, 我們將討論限定在受限玻爾茲曼機(jī)(Ristricted Boltzman Machine，RBM)這種特殊的結(jié)構(gòu)上, 用它來描述自旋1/2的量子系統(tǒng)。

圖1：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)編碼了N個自旋的多體量子態(tài)

這是一個受限玻耳茲曼機(jī)的體系結(jié)構(gòu)，它是由N個可見的人工神經(jīng)元(黃點)和M個隱藏層神經(jīng)元(灰點)組成的。對于多體自旋狀態(tài)的每一個值S=(σ^z_1，σ^z_2，…，σ^z_N)，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算波函數(shù)Ψ(S)的值。

在這個情況下, RBM人工網(wǎng)絡(luò)擁有一層具有N個節(jié)點的可見層, 可見層對應(yīng)一組選定基矢下的自旋物理量(如: S=(σ^z_1，σ^z_2，…，σ^z_N) , 還擁有一層具有M個輔助變量的隱藏層(h1,h2,...,hM) (圖1). 這樣的描述對應(yīng)量子態(tài)的變分表達(dá)式:

這里，hi={-1,1}是一組M個隱含自旋變量，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：W={a,b,W}完全表征了這個網(wǎng)絡(luò)對于一個給定的輸入狀態(tài)S的響應(yīng)。由于這個結(jié)構(gòu)的特點是沒有層內(nèi)部的相互作用, 這些隱變量可以顯式地通過求跡來消除, 求跡后波函數(shù)就變成了:

且有

這個網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重一般來說取復(fù)數(shù), 這樣能同時完整描述波函數(shù)的振幅和相位。

數(shù)學(xué)上人們已經(jīng)證明了所謂的"表示定理"(27-29)，這個定理能夠保證用(神經(jīng))網(wǎng)絡(luò)來近似足夠光滑且規(guī)則的高維函數(shù)。該定理同樣能夠保證NQS(Neural network Quantum States，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài))能夠描述錯綜復(fù)雜的多體波函數(shù), 只要多體波函數(shù)滿足這些條件。我們有理由相信NQS結(jié)構(gòu)是一個合理的選擇。

這個表述方式的一個實際好處是, 原則上它的(訓(xùn)練)效果能夠通過增加隱變量的數(shù)量得到系統(tǒng)性的提高. 數(shù)量M(或者, 等價的說, 比例a = M/N，其中M為隱含層單元數(shù)量，N為可見層單元數(shù)量)扮演了類似MPS里成鍵維度的角色。但是, 這些隱層單元導(dǎo)致的關(guān)聯(lián)本質(zhì)上是非局域的, 因此, 這種關(guān)聯(lián)十分適合描述具有任意維度的量子系統(tǒng)。

NQS另一個便利之處是, 特定的對稱性會降低，例如, 具有平移不變性的受限波爾茲曼機(jī)中考慮晶格平移對稱性可以減少NQS方案（NQS Ansatz）的變分參數(shù)的數(shù)量。具體點來說, 對于整數(shù)的隱變量密度a = 1,2,..., 權(quán)重矩陣取特征過濾器的形式W_j^{f}，其中f屬于[1,a]。這些過濾器總共有aN個變分元素, 而不是非對稱情況下的aN^2個元素。

如果現(xiàn)在給定一個一般的量子多體態(tài)的表達(dá)式, 我們余下的任務(wù)就是用機(jī)器學(xué)習(xí),通過最優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)W, 來求解多體問題。一個非常有意思的應(yīng)用是, 具體的多體狀態(tài)我們并不知道, 一般我們通過給定的哈密頓量H來求解靜態(tài)薛定諤方程H|Ψ>=E|Ψ>或含時方程：H|Ψ(t)>=id/dt |Ψ>。在沒有真實的波函數(shù)提供樣本的情況下,通過監(jiān)督學(xué)習(xí)得到Ψ并不可行。但是, 我們推出了一個自恰的強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法. 在這個方法中, 基態(tài)波函數(shù)或者含時波函數(shù)可以基于變分原理提供的反饋進(jìn)行學(xué)習(xí)得到.

基態(tài)

為了證明NQS在復(fù)雜多體量子態(tài)的描述中的準(zhǔn)確性，我們首先關(guān)注于找到給定哈密頓函數(shù)H的未知基態(tài)的最好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示的目標(biāo)。在這種情況下，實現(xiàn)強(qiáng)化學(xué)習(xí)需要通過使網(wǎng)絡(luò)權(quán)重W的能量E(W) = <Ψ_M|H|Ψ_M >/<Ψ_M |Ψ_M>的期望值最小化來達(dá)到。在隨機(jī)設(shè)置下，這是通過迭代方案實現(xiàn)的。在每次迭代k中，對于給定的一組參數(shù)W_k實現(xiàn)|Ψ_M(S;W_k)|^2的蒙特卡羅采樣。同時，獲得能量梯度的隨機(jī)估計。然后，使用一種改進(jìn)的梯度下降優(yōu)化（32）來給出下一組權(quán)重W_{k+1}。這個方法的總體計算成本與標(biāo)準(zhǔn)基態(tài)量子蒙特卡羅模擬的總體計算成本相當(dāng)（參見原論文補(bǔ)充材料）。

為了驗證我們的方案，我們考慮了兩個典型的自旋模型的基態(tài)問題，橫向場Ising (TFI)模型和反鐵磁海森堡 (AFH)模型。他們的哈密爾頓算子分別是:

和:

其中σ_x，σ_y和σ_z是泡利矩陣。

圖2: 多體基態(tài)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示

這些結(jié)果是一維二維Ising這樣的原型系統(tǒng)產(chǎn)生的。在最頂端的圖中，我們展示了在臨界點h=1下面的一維橫向場Ising模型（TFI）以及反鐵磁模型（AFH）模型的特征圖。在這兩種情況下， 隱含層的密度都是a=4，格點包含了80個。每一個水平的色圖展示了第f個特征圖W_j^{(f)}在第j個格點的取值（為了圖像更清楚，我們將橫坐標(biāo)軸加寬了）。在下面一組圖中，我們展示了立方網(wǎng)格上的2D海森堡模型，其中a=16。在這種情況下，水平（或豎直）坐標(biāo)軸對應(yīng)了x（或y）在10*10格點上的坐標(biāo)。每一個有效的特征圖都相當(dāng)于一個有效的可以對自旋構(gòu)型進(jìn)行過濾的濾波器，捕獲了最重要的量子關(guān)聯(lián)。

接下來，我們將考慮具有周期邊界條件(PBCs)的一維和二維（1D和2D）晶格的情況。在圖2中，我們展示了兩個隱含變量密度α = 4的兩個自旋模型的基態(tài)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并且我們規(guī)定這些結(jié)構(gòu)具有平移對稱性。我們發(fā)現(xiàn)每個過濾器f = [1,...α]能夠?qū)W習(xí)在基態(tài)波函數(shù)中涌現(xiàn)的特定的關(guān)聯(lián)特征。例如，在二維情況下（如圖2所示，右邊的面板）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與反鐵磁性關(guān)聯(lián)的模式。NQS的一般行為完全類似于在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中觀察到的那樣，在不同層次學(xué)習(xí)輸入數(shù)據(jù)的特定結(jié)構(gòu)。

圖3.用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)（NQS）尋找多體基態(tài)能量

幾個測試用例顯示了NQS基態(tài)能量相對于精確值的誤差。可以通過增加隱藏單元密度α獲得基態(tài)能量的任意精度。(A) 在給定磁場強(qiáng)度h的幾個不同取值下，1維TFI模型的精度，該模型由80個格點組成自旋鏈，具有周期性邊界條件（PBCs）（我們隱去了低于10^{–8} 的點以提高可讀性）。(B) 80個格點具有周期邊界條件的自旋鏈得到的精度與Jastrow 假設(shè)的精度（水平虛線）對比。(C) 在10×10格點上具有周期邊界條件的AFH模型精度與采用EPS [上虛線（35）]和PEPS [下虛線（36）]的精度對比。對于這里考慮的所有情況，NQS方法在一維上達(dá)到了MPS級精度，并系統(tǒng)性地改進(jìn)了2維有限格點系統(tǒng)的最佳已知變分狀態(tài)。

在圖3中，我們展示了NQS的精度，將其量化為基態(tài)能量E_{rel} = (E_{NQS}(α)-E_{exact})/|E_{exact}|相對誤差在不同α和模型參數(shù)下的取值。在圖3A，我們在具有PBCs的1維鏈上用費(fèi)米化的TFI模型的精確結(jié)果與NQS的能量變化進(jìn)行了比較。最明顯的結(jié)果是，NQS實現(xiàn)了一個可控且任意精準(zhǔn)的準(zhǔn)確性，與對于α的冪律行為相符。最難學(xué)習(xí)的基態(tài)是在量子臨界點h = 1附近，盡管如此，我們可以通過相對適度的隱藏單元密度輕松實現(xiàn)每一個百萬分之一的顯著精度。同樣的精度可以在更復(fù)雜的一維AFH模型中得到（圖3B）。在這種情況下，我們還觀察到基態(tài)能量誤差的系統(tǒng)性下降，對于小的α = 4，在臨界點獲得與TFI模型相同的高精度。我們的模型的精度比自旋Jastrow 方案高幾個數(shù)量級（虛線圖3B）。同樣有趣的是將α值與能夠達(dá)到相同精度水平所需要的MPS約束維度M進(jìn)行比較。例如，在有PBCs的AFH模型中，我們發(fā)現(xiàn)如果應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的密度矩陣重整化群(Density Matrix Renormalization Group，DMRG)（33），我們需要M~160才能達(dá)到NQS在α = 4的準(zhǔn)確度。這表明了NQS方案可以對多體狀態(tài)進(jìn)行更緊湊的表示，這比相應(yīng)的MPS方案所需要的變分參數(shù)少了約三個數(shù)量級。

我們接下來研究了二維正方形陣列上的AFH模型（與QMC結(jié)果的比較，見圖3C）（34）。考慮到量子態(tài)有糾纏，對于NQS來說，研究二維情況會更加困難。盡管如此，隨著α的增加，我們總能發(fā)現(xiàn)變量會有系統(tǒng)性的改進(jìn)，定量上這與一維情況類似。難度增加反映在收斂性更慢了。當(dāng)然，我們還是能得到和現(xiàn)有最先進(jìn)方法不相上下的結(jié)果的，甚至更好。特別是在隱單元密度相對較小的情況下（α?4），我們已經(jīng)獲得了與最有名的有限大小集群變分方程（variational results）相同的結(jié)果[（35）的糾纏plaquette狀態(tài)(EPS)和（36）投影糾纏對狀態(tài)(PEPS)]。進(jìn)一步增加α能得到一個可觀的改進(jìn)，最終產(chǎn)生迄今為止在有限網(wǎng)格上該2維模型的最佳變分結(jié)果。

幺正（或酉，Unitary）動力學(xué)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)（NQS）并不僅限于基態(tài)問題的研究，還可以擴(kuò)展到含時的薛定諤方程。關(guān)于這個問題，我們定義了復(fù)數(shù)域上的含時網(wǎng)絡(luò)權(quán)值W(t)。在不同的時間t下，根據(jù)狄拉克的非定態(tài)原理(37, 38)，可以訓(xùn)練W(t)并衍生出最好的量子動力學(xué)。在這個條件下，變分殘差：

成為了關(guān)于時間權(quán)值導(dǎo)數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，要通過訓(xùn)練求其最小值來找到。在隨機(jī)結(jié)構(gòu)中，這個過程通過包含時間的VMC方法（25,26）來實現(xiàn)。在每一個時間都對|Ψ_M(S;W(t))|^2進(jìn)行采樣，隨后通過計算給出使損失R(t)^2最小的W(t)的隨機(jī)估量，其計算成本為O(aN^2)。當(dāng)由時間產(chǎn)生的附加項得到確定，并且對時間整合后，就可以通過這個方法方便的獲得全部的時間演化結(jié)果。

圖4：NQS的多體幺正時間演化

該圖顯示了由量子退火（Quantum quench）引起的NQS時間演化結(jié)果（實線）。(A)TFI隨時間改變的橫向自旋極化，與準(zhǔn)確結(jié)果（虛線）對比。(B)AFH模型中演化后的依賴近鄰自旋統(tǒng)計，與在t-DMRG中獲得的準(zhǔn)確結(jié)果（虛線）對比。所有的結(jié)果都參照熱力學(xué)限定的一維鏈代表，同時有限尺寸修正小于線寬。

為了證明在動力學(xué)環(huán)境下NQS的效率，我們考慮在自旋模型中的耦合常數(shù)進(jìn)行量子退火所誘導(dǎo)出的幺正動力學(xué)。在TFI模型中，我們通過迅速改變橫向場的方法引起非線性的量子動力學(xué)：這個系統(tǒng)首先處在某一個場hi的TFI模型基態(tài)，然后在橫向場hf<>hi下演化。我們將我們的結(jié)果和在控制系統(tǒng)中的具有PBCs的一維鏈的費(fèi)米化的TFI模型獲得的解析解對比。在圖4A中，準(zhǔn)確的由時間決定的橫向自旋極化的結(jié)果與在α=4時的NQS系統(tǒng)進(jìn)行了對比。在AFH模型中（圖4B），我們研究了縱向耦合Jz的量子退火，并且監(jiān)控了最近鄰的時間演化相關(guān)性。我們將時間演化結(jié)果(α=4)和已經(jīng)存在數(shù)字的開放邊界的MPS動力學(xué)系統(tǒng)(39-41)相對比(圖4B)。

結(jié)果表明，幺正動力學(xué)的預(yù)測仍然可以獲得很高的精度，這更加證實了以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法為基礎(chǔ)的途徑可以用來解決量子多體問題，不僅在基態(tài)下適用，在建立的由復(fù)雜原因引起的激發(fā)態(tài)模型也適用。

展望

基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的變分量子態(tài)能夠用來有效的捕獲了一維和二維的糾纏多體問題的復(fù)雜性。盡管這里用到的受限玻爾茲曼機(jī)很簡單，但是我們在基態(tài)和典型自旋模型的動力學(xué)演化方面都取得了很高的精度。在不遠(yuǎn)的將來，人們會設(shè)計出更多的研究方法。機(jī)器學(xué)習(xí)的新進(jìn)展，比如深度網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都可以成為更先進(jìn)的NQS的基礎(chǔ)，因此這有可能大大增強(qiáng)它的表達(dá)能力。此外，將我們的方法延伸到除自旋系統(tǒng)以外的量子系統(tǒng)中去也是相當(dāng)直接的。我們期待著利用這種方法來求解最具挑戰(zhàn)性的二維費(fèi)米子的問題。最后，作為張量網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的一種變體，NQS具備內(nèi)在的非局域關(guān)聯(lián)特性，這就使得對多體量子態(tài)的表達(dá)可以更簡潔。因此對NQS糾纏特性的形式化分析可能給量子信息理論帶來本質(zhì)上的新概念。（點擊閱讀原文下載原文pdf）

翻譯志愿者介紹：

本文譯者是集智俱樂部志愿者孫金薇 、黃 晨 、李麗京 、王宇劍 ，感謝大家的辛勤翻譯。

黃晨 物理學(xué)博士在讀，主要方向為凝聚態(tài)物理，對量子計算和機(jī)器學(xué)習(xí)感興趣。（同時也是本期的優(yōu)秀譯者，撒花！）

王宇劍，來自內(nèi)蒙古呼和浩特，研究生三年級，物理專業(yè)，喜歡跆拳道，羽毛球，游泳。

孫金薇，目前大三，感興趣的領(lǐng)域是html5和css。

李麗京，服裝設(shè)計師，感興趣的方向是復(fù)雜科學(xué)、人工智能、認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)等。

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參考文獻(xiàn)與注記

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